Музыка, как математическая дисциплина. Обсудите пожалуйста идеи тональных функций высшего порядка, что здесь развиваются.

понедельник, 4 июня 2007 г.

Сонантометрия.
© 2007 Михаил Храмов.
Статья пишется в ходе реализации проекта КОММАТОР.
Последние изменения внесены 25 июля 2007.
Английский перевод оригинального текста выполнил Михаил Храмов.
В предлагаемых заметках развиваются идеи, касающиеся тональных функций высших порядков. Говорится о практике применения этих тональных функций, как сонантов к анализу и синтезу музыки.

Сонантометрия, или алгебра тональных функций, уточняет и расширяет возможности функционального анализа и синтеза музыки. Пример моего собственного опыта применения предмета статьи доступен в файле: Вагнерово начало Тристана. 53РДО аппроксимация предела 7. Также MIDI - модель звучания этого фрагмента даётся.

Суть сонантометрии можно пояснить следующей таблицей:

Диатоника чистой интонации предела 5

Тональная функция

Сонант

Ступень

Соотношение частот ступени и 1й ступени

Имя

Символ

Формулы по порядку близости к Тонанту

Имя

Символ

Дробь

Факторизация

0

1

2

8

VIII ~ I

2/1 ~ 1

21 ~ 1

Тоника

T

:T

:Dd

Тонант и Дедант

7

VII<

15/8~15

51×31×2-3 ~ 51×31

Вводная

:MD или :DM

МеДент или ДеМент

6

VI<

5/3

51×3-1×20 ~ 51×3-1

Субмедианта

:Md или :dM

Медант или даМент

5

V

3/2~3

31×2-1 ~ 31

Доминанта

D

:D

Доминант или Дент

4

IV

4/3~1/3

3-1×22 ~ 3-1

Субдоминанта

S

:d

Субдоминант или дант

3

III<

5/4~5

51×2-2 ~ 51

Медианта

M

:M

Медиант или Мент

2

II

9/8~9

32×2-3 ~ 32

Двойная дом-та

DD or 2D

:2D или :DD

ДваДент или ДеДент

1

I ~ VIII

1/1=1 ~ 2/1

20=1 ~ 21

Тоника

T

:T

:dD

Тонант и даДент

Эта таблица показывает связи между хорошо известной мажорной диатоникой чистой интонации предела 5, так же хорошо известными тональными функциями и тем, что названо здесь сонанты и лежит в основе дисциплины, названной здесь сонантометрия.

Сравнение ступеней I и VIII указывает на сопоставление им одной и той же функции T, или тоники. Другими словами эти ступени функционально эквивалентны, и можно записать VIII ~ I и I ~ VIII. Соотношения частот ступеней при этом показывают, что 2 ~ 1 и все степени простого числа 2 в факторизациях соотношений частот всех ступеней можно заменить единицей и не показывать. Понятно, что тонике соответствует число 1, именно этому числу соответствует первый, вводимый здесь сонант :T (произносится [Te]) наименованный Тонант. Формула сонанта :T имеет нулевой порядок близости к Тонанту, поскольку этот порядок равен сумме абсолютных значений показателей степеней простых нечётных оснований факторизации и для :T равен 0.

Ступеням V и IV сопоставлены функции D и S, или доминанты и субдоминанты. Легко заметить, что имени ‘доминанта’ соответствует число 31, а приставка ‘суб’ указывает лишь на смену знака показателя степени этого числа. В сонантометрии это закреплено тем, что любой сонант :S предполагает наличие своего субсонанта :s. Поэтому функции доминанта соответствует сонант :D (произносится [De]), с именем Доминант или Дент. Его субсонант :d (произносится [da]), с именем субдоминант или дант соответствует функции субдоминанта. Формула :S в сонантометрии обозначает любой возможный сонант со своим субсонантом :s, а функции субдоминанта соответствует субсонант :d сонанта :D. Из факторизации ясно, что Дент и дант имеют порядок близости к Тонанту равный 1.

В мажорной диатонике чистой интонации предела 5 есть ещё один сонант порядка 1. Он соответствует числу 51 и функции медианта, что сопоставлена ступени III<. Знак «<» указывает на изгиб высоты ступени пиафагоровой шкалы вниз, и будет описан далее, вместе со знаком изгиба вверх «>». Сонант :M (произносится [Me]), с именем Медиант или Мент, и его субсонант :m (произносится [ma]), с именем субмедиант или мант суть последние из возможных сонантов порядка 1 в чистой интонации предела 5. В рассматриваемой диатонике мант отсутствует и функция субмедианты сопоставлена другому сонанту. Однако гармоническая версия мажорной диатоники чистой интонации предела 5 замещает ступень VI< ступенью VIb> (8/5 ~ 5-1)и соответствие субмедианты манту восстанавливается.

Существование функции с именем двойная доминанта помогает понять суть сложных сонантов. Это все сонанты порядка 2 и выше. Подобно двойной доминанте, или доминанте от доминанты, любой сонант порядка 2 существует как простой сонант порядка 1 от принятого вместо Тонанта другого сонанта, простого к Тонанту по близости. Следует заметить, что субсонант своего сонанта равен Тонанту, и смена мест простых сонантов в формуле сложного не приводит к другому сонанту.

В данной диатонике существуют сложные сонанты :2D или :DD, :MD или :DM, :Dd или :dD, :Md или :dM. Их имена и соответствие ступеням отражены в таблице. Понятно, что диатоника охватывает не все возможные сонанты чистой интонации предела 5 и порядка 2. Полный набор этих сонантов отражается в таблице ниже.

Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2

Сонант

Ступень

Соотношение частот ступени и 1й ступени

Формулы по порядку близости к Тонанту

Имя

Символ

Дробь

Факторизация

0

1

2

14

VIII ~ I

2/1 ~ 1

21~1

:T

:Dd и :Mm

Тонант и Дедант и Мемант

13

VII<

15/8 ~ 15

51×31×2-3 ~ 51×31

:MD или :DM

МеДент или ДеМент

12

VIIb

16/9 ~ 1/9

3-2×24 ~ 3-2

:2d или :dd

Двадант или дадант

11

VI<

5/3

51×3-1×20 ~ 51×3-1

:Md или :dM

Медант или даМент

10

VIb>

8/5 ~ 1/5

5-1×23 ~ 5-1

:m

Субмедиант или мант

9

V#(

25/16 ~ 25

52×2-4 ~ 52

:2M или :MM

ДваМент или МеМент

8

V

3/2 ~ 3

31×2-1 ~ 31

:D

Доминант или Дент

7

IV

4/3 ~ 1/3

3-1×22 ~ 3-1

:d

Субдоминант или дант

6

IVb)

32/25 ~ 1/25

5-2×25 ~ 5-2

:2m или :mm

Двамант или мамант

5

III<

5/4 ~ 5

51×2-2 ~ 51

:M

Медиант или Мент

4

IIIb>

6/5

5-1×31×21 ~ 5-1×31

:mD или :Dm

маДент или Демант

3

II

9/8 ~ 9

32×2-3 ~ 32

:2D или :DD

ДваДент или ДеДент

2

IIb>

16/15 ~ 1/15

5-1×3-1×24 ~ 5-1×3-1

:md или :dm

мадант или дамант

1

I ~ VIII

1/1=1 ~ 2/1

20=1 ~ 21

:T

:dD и :mM

Тонант и даДент и маМент

Приступая к выяснению сути знаков «>», «<», «)», «(», вспомним, что шкала чистой интонации предела 5, может быть выражена через шкалу чистой интонации предела 3. Последняя шкала носит имя Пифагора, и по сей день лежит в основе музыкальной нотации и понятия ‘квинтовая спираль’, что через настройку 12 равномерных делений октавы (12 РДО) вырождается в ‘квинтовый круг’. В пифагоровой шкале, как шкале чистой интонации предела 3, мы найдём всеобщий сонант :T, простые к нему сонанты :D и :d, а также все сложные, что можно получить из :T, :D и :d. Другие сонанты в этой шкале невозможны.

В следующей таблице шкала чистой интонации предела 5 (сонанты :T, :D, :d, :M, :m и их комбинации) выражена через интервальные сонанты (интерсонанты) к ступеням пифагоровой:

Пифагорова шкала чистой интонации предела 3 и порядка 8

Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2.

Ступень

Сонанты

по порядку близости к Тонанту

Ступень

Сонанты по порядку близости к Тонанту

Изгиб высоты в интерсонантах по порядку близости к ступеням пифагоровой шкалы.

Символ

0

1

2

3

4

5

8

Символ

0

1

2

5

10

14

VIII ~ I

:T

14

VIII ~ I

:T

13

VII

:5D

:δ[5D = :M4d[5D

13

VII<

:MD

12

VIIb

:2d

12

VIIb

:2d

11

VI

:3D

:δ[3D = :M4d[3D

11

VI<

:Md

10

V#

:8D

:2δ[8d = :2M8d[8D

10

VIb>

:m

:Δ[4D = :m4D[4d

9

VIb

:4d

9

V#(

:2M

8

V

:D

8

V

:D

7

IV

:d

7

IV

:d

6

IVb)

:2m

:2Δ[8d = :2m8D[8d

6

III

:4D

:δ[4d = :M4d[4D

5

III<

:M

5

IVb

:8d

4

IIIb>

:mD

:Δ[3d = :m4D[3d

4

IIIb

:3d

3

II

:2D

3

II

:2D

2

IIb>

:md

:Δ[5d = :m4D[5d

2

IIb

:5d

1

I ~ VIII

:T

1

I ~ VIII

:T

Как можно заметить, шкалы в точности совпадают по ступеням I, II, IV, V, VIIb. По другим ступеням находим расхождение пятого порядка на маЧетыреДент или обратный ему МеЧетыредант. Ступени IVb и V# расходятся на ДвамаВосемьДент и обратный ему ДваМеВосемьдант, оба десятого порядка.

Здесь даётся простое правило нахождения интерсонанта между любой парой сонантов. Достаточно написать первый сонант, дописать к нему элементы второго, элементы обратного второму, и вынести за скобку элементы второго, как точки отсчёта. Перед скобкой останется искомый интерсонант.

:md = :md 5d 5D = :md5D[5d = :m4D[5d;

:mD = :mD 3d 3D = :mD3D[3d = :m4D[3d;

:M = :M 4D 4d = :M4d[4D;

:2m = :2m 8d 8D = 2m8D[8d;

:2M = :2M 8D 8d = 2M8d[8D;

:m = :m 4d 4D = :m4D[4d;

:Md = :Md 3D 3d = :Md3d[3D = :M4d[3D;

:MD = :MD 5D 5d = :MD5d[5D = :M4d[5D.

Восстановление числовых значений интерсонанта :m4D по формуле 5-1×34×2Z, Z ={-n, …, 0, … n}, n Î N, N = {1, 2, 3, …, n} даёт множество октавных эквивалентов дроби 81/80 и изгибает высоту пифагоровой ступени (далее ступени) на дидимову комму вверх. Обратный сонант :M4d (множество октавных эквивалентов дроби 80/81) изгибает высоту ступени на дидимову комму вниз. Поэтому :m4D можно назвать Дидимент, и обозначить :Δ. При этом :M4d назовём дидимант, и обозначим :δ.

Таблица показывает, что «>» изгибает высоту ступени вверх на Дидимент, а «<» вниз на дидимант. Знак «)» предписывает ДваДидимент вверх, и «(» означает Двадидимант вниз.

Заметим, если в сонанте ноты присутствует:

M, возникает "<" и ступень понижается интерсонантом :δ;

2M возникает "(" и ступень понижается интерсонантом :2δ;

m, возникает ">" и ступень повышается интерсонантом :Δ;

2 m, возникает ")" и ступень повышается интерсонантом :2Δ.

Другими словами, в чистой интонации предела 5, изгиб высоты ступени возникает только у нот, содержащих M, или m. Величина изгиба составляет, соответственно, ровно столько интерсонантов :δ или :Δ, сколько M, или m в составе ноты.

Это наблюдение даёт следующее, состоящее из двух фаз, правило расстановки дополнительных знаков альтерации для записи нот чистой интонации предела 5 в партитурах пифагорова строя:

  1. опираясь на контекст партитуры, присвоить каждой нотной головке, соответствующий ей сонант;
  2. если в сонанте присутствуют M, 2M, 3M, соответственно изогнуть высоту ноты на :δ, :2δ, :3δ, и обозначить эти понижения соответственно дополнительными знаками альтерации "<", "(", "{". Присутствие m, 2m, 3m требует соответствующих изгибов на :Δ, :2Δ, :3Δ, и обозначений повышения соответствующими дополнительными знаками альтерации ">", ")" и "}".