Сонантометрия, или алгебра тональных функций, уточняет и расширяет возможности функционального анализа и синтеза музыки. Пример моего собственного опыта применения предмета статьи доступен в файле: Вагнерово начало Тристана. 53РДО аппроксимация предела 7. Также MIDI - модель звучания этого фрагмента даётся.
Суть сонантометрии можно пояснить следующей таблицей:
| Диатоника чистой интонации предела 5 | Тональная функция | Сонант | |||||||
| Ступень | Соотношение частот ступени и 1й ступени | Имя | Символ | Формулы по порядку близости к Тонанту | Имя | ||||
| № | Символ | Дробь | Факторизация | 0 | 1 | 2 | |||
| 8 | VIII ~ I | 2/1 ~ 1 | 21 ~ 1 | Тоника | T | :T | :Dd | Тонант и Дедант | |
| 7 | VII< | 15/8~15 | 51×31×2-3 ~ 51×31 | Вводная | :MD или :DM | МеДент или ДеМент | |||
| 6 | VI< | 5/3 | 51×3-1×20 ~ 51×3-1 | Субмедианта | :Md или :dM | Медант или даМент | |||
| 5 | V | 3/2~3 | 31×2-1 ~ 31 | Доминанта | D | :D | Доминант или Дент | ||
| 4 | IV | 4/3~1/3 | 3-1×22 ~ 3-1 | Субдоминанта | S | :d | Субдоминант или дант | ||
| 3 | III< | 5/4~5 | 51×2-2 ~ 51 | Медианта | M | :M | Медиант или Мент | ||
| 2 | II | 9/8~9 | 32×2-3 ~ 32 | Двойная дом-та | DD or 2D | :2D или :DD | ДваДент или ДеДент | ||
| 1 | I ~ VIII | 1/1=1 ~ 2/1 | 20=1 ~ 21 | Тоника | T | :T | :dD | Тонант и даДент | |
Эта таблица показывает связи между хорошо известной мажорной диатоникой чистой интонации предела 5, так же хорошо известными тональными функциями и тем, что названо здесь сонанты и лежит в основе дисциплины, названной здесь сонантометрия.
Сравнение ступеней I и VIII указывает на сопоставление им одной и той же функции T, или тоники. Другими словами эти ступени функционально эквивалентны, и можно записать VIII ~ I и I ~ VIII. Соотношения частот ступеней при этом показывают, что 2 ~ 1 и все степени простого числа 2 в факторизациях соотношений частот всех ступеней можно заменить единицей и не показывать. Понятно, что тонике соответствует число 1, именно этому числу соответствует первый, вводимый здесь сонант :T (произносится [Te]) наименованный Тонант. Формула сонанта :T имеет нулевой порядок близости к Тонанту, поскольку этот порядок равен сумме абсолютных значений показателей степеней простых нечётных оснований факторизации и для :T равен 0.
Ступеням V и IV сопоставлены функции D и S, или доминанты и субдоминанты. Легко заметить, что имени ‘доминанта’ соответствует число 31, а приставка ‘суб’ указывает лишь на смену знака показателя степени этого числа. В сонантометрии это закреплено тем, что любой сонант :S предполагает наличие своего субсонанта :s. Поэтому функции доминанта соответствует сонант :D (произносится [De]), с именем Доминант или Дент. Его субсонант :d (произносится [da]), с именем субдоминант или дант соответствует функции субдоминанта. Формула :S в сонантометрии обозначает любой возможный сонант со своим субсонантом :s, а функции субдоминанта соответствует субсонант :d сонанта :D. Из факторизации ясно, что Дент и дант имеют порядок близости к Тонанту равный 1.
В мажорной диатонике чистой интонации предела 5 есть ещё один сонант порядка 1. Он соответствует числу 51 и функции медианта, что сопоставлена ступени III<. Знак «<» указывает на изгиб высоты ступени пиафагоровой шкалы вниз, и будет описан далее, вместе со знаком изгиба вверх «>». Сонант :M (произносится [Me]), с именем Медиант или Мент, и его субсонант :m (произносится [ma]), с именем субмедиант или мант суть последние из возможных сонантов порядка 1 в чистой интонации предела 5. В рассматриваемой диатонике мант отсутствует и функция субмедианты сопоставлена другому сонанту. Однако гармоническая версия мажорной диатоники чистой интонации предела 5 замещает ступень VI< ступенью VIb> (8/5 ~ 5-1)и соответствие субмедианты манту восстанавливается.
Существование функции с именем двойная доминанта помогает понять суть сложных сонантов. Это все сонанты порядка 2 и выше. Подобно двойной доминанте, или доминанте от доминанты, любой сонант порядка 2 существует как простой сонант порядка 1 от принятого вместо Тонанта другого сонанта, простого к Тонанту по близости. Следует заметить, что субсонант своего сонанта равен Тонанту, и смена мест простых сонантов в формуле сложного не приводит к другому сонанту.
В данной диатонике существуют сложные сонанты :2D или :DD, :MD или :DM, :Dd или :dD, :Md или :dM. Их имена и соответствие ступеням отражены в таблице. Понятно, что диатоника охватывает не все возможные сонанты чистой интонации предела 5 и порядка 2. Полный набор этих сонантов отражается в таблице ниже.
| Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2 | Сонант | ||||||
| Ступень | Соотношение частот ступени и 1й ступени | Формулы по порядку близости к Тонанту | Имя | ||||
| № | Символ | Дробь | Факторизация | 0 | 1 | 2 | |
| 14 | VIII ~ I | 2/1 ~ 1 | 21~1 | :T | :Dd и :Mm | Тонант и Дедант и Мемант | |
| 13 | VII< | 15/8 ~ 15 | 51×31×2-3 ~ 51×31 | :MD или :DM | МеДент или ДеМент | ||
| 12 | VIIb | 16/9 ~ 1/9 | 3-2×24 ~ 3-2 | :2d или :dd | Двадант или дадант | ||
| 11 | VI< | 5/3 | 51×3-1×20 ~ 51×3-1 | :Md или :dM | Медант или даМент | ||
| 10 | VIb> | 8/5 ~ 1/5 | 5-1×23 ~ 5-1 | :m | Субмедиант или мант | ||
| 9 | V#( | 25/16 ~ 25 | 52×2-4 ~ 52 | :2M или :MM | ДваМент или МеМент | ||
| 8 | V | 3/2 ~ 3 | 31×2-1 ~ 31 | :D | Доминант или Дент | ||
| 7 | IV | 4/3 ~ 1/3 | 3-1×22 ~ 3-1 | :d | Субдоминант или дант | ||
| 6 | IVb) | 32/25 ~ 1/25 | 5-2×25 ~ 5-2 | :2m или :mm | Двамант или мамант | ||
| 5 | III< | 5/4 ~ 5 | 51×2-2 ~ 51 | :M | Медиант или Мент | ||
| 4 | IIIb> | 6/5 | 5-1×31×21 ~ 5-1×31 | :mD или :Dm | маДент или Демант | ||
| 3 | II | 9/8 ~ 9 | 32×2-3 ~ 32 | :2D или :DD | ДваДент или ДеДент | ||
| 2 | IIb> | 16/15 ~ 1/15 | 5-1×3-1×24 ~ 5-1×3-1 | :md или :dm | мадант или дамант | ||
| 1 | I ~ VIII | 1/1=1 ~ 2/1 | 20=1 ~ 21 | :T | :dD и :mM | Тонант и даДент и маМент | |
Приступая к выяснению сути знаков «>», «<», «)», «(», вспомним, что шкала чистой интонации предела 5, может быть выражена через шкалу чистой интонации предела 3. Последняя шкала носит имя Пифагора, и по сей день лежит в основе музыкальной нотации и понятия ‘квинтовая спираль’, что через настройку 12 равномерных делений октавы (12 РДО) вырождается в ‘квинтовый круг’. В пифагоровой шкале, как шкале чистой интонации предела 3, мы найдём всеобщий сонант :T, простые к нему сонанты :D и :d, а также все сложные, что можно получить из :T, :D и :d. Другие сонанты в этой шкале невозможны.
В следующей таблице шкала чистой интонации предела 5 (сонанты :T, :D, :d, :M, :m и их комбинации) выражена через интервальные сонанты (интерсонанты) к ступеням пифагоровой:
| Пифагорова шкала чистой интонации предела 3 и порядка 8 | Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2. | |||||||||||||||
| Ступень | Сонанты по порядку близости к Тонанту | Ступень | Сонанты по порядку близости к Тонанту | Изгиб высоты в интерсонантах по порядку близости к ступеням пифагоровой шкалы. | ||||||||||||
| № | Символ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | 8 | № | Символ | 0 | 1 | 2 | 5 | 10 |
| 14 | VIII ~ I | :T | 14 | VIII ~ I | :T | |||||||||||
| 13 | VII | :5D | :δ[5D = :M4d[5D | |||||||||||||
| 13 | VII< | :MD | ||||||||||||||
| 12 | VIIb | :2d | 12 | VIIb | :2d | |||||||||||
| 11 | VI | :3D | :δ[3D = :M4d[3D | |||||||||||||
| 11 | VI< | :Md | ||||||||||||||
| 10 | V# | :8D | :2δ[8d = :2M8d[8D | |||||||||||||
| 10 | VIb> | :m | :Δ[4D = :m4D[4d | |||||||||||||
| 9 | VIb | :4d | ||||||||||||||
| 9 | V#( | :2M | ||||||||||||||
| 8 | V | :D | 8 | V | :D | |||||||||||
| 7 | IV | :d | 7 | IV | :d | |||||||||||
| 6 | IVb) | :2m | :2Δ[8d = :2m8D[8d | |||||||||||||
| 6 | III | :4D | :δ[4d = :M4d[4D | |||||||||||||
| 5 | III< | :M | ||||||||||||||
| 5 | IVb | :8d | ||||||||||||||
| 4 | IIIb> | :mD | :Δ[3d = :m4D[3d | |||||||||||||
| 4 | IIIb | :3d | ||||||||||||||
| 3 | II | :2D | 3 | II | :2D | |||||||||||
| 2 | IIb> | :md | :Δ[5d = :m4D[5d | |||||||||||||
| 2 | IIb | :5d | ||||||||||||||
| 1 | I ~ VIII | :T | 1 | I ~ VIII | :T | |||||||||||
Как можно заметить, шкалы в точности совпадают по ступеням I, II, IV, V, VIIb. По другим ступеням находим расхождение пятого порядка на маЧетыреДент или обратный ему МеЧетыредант. Ступени IVb и V# расходятся на ДвамаВосемьДент и обратный ему ДваМеВосемьдант, оба десятого порядка.
Здесь даётся простое правило нахождения интерсонанта между любой парой сонантов. Достаточно написать первый сонант, дописать к нему элементы второго, элементы обратного второму, и вынести за скобку элементы второго, как точки отсчёта. Перед скобкой останется искомый интерсонант.
:md = :md 5d 5D = :md5D[5d = :m4D[5d;
:mD = :mD 3d 3D = :mD3D[3d = :m4D[3d;
:M = :M 4D 4d = :M4d[4D;
:2m = :2m 8d 8D = 2m8D[8d;
:2M = :2M 8D 8d = 2M8d[8D;
:m = :m 4d 4D = :m4D[4d;
:Md = :Md 3D 3d = :Md3d[3D = :M4d[3D;
:MD = :MD 5D 5d = :MD5d[5D = :M4d[5D.
Восстановление числовых значений интерсонанта :m4D по формуле 5-1×34×2Z, Z ={-n, …, 0, … n}, n Î N, N = {1, 2, 3, …, n} даёт множество октавных эквивалентов дроби 81/80 и изгибает высоту пифагоровой ступени (далее ступени) на дидимову комму вверх. Обратный сонант :M4d (множество октавных эквивалентов дроби 80/81) изгибает высоту ступени на дидимову комму вниз. Поэтому :m4D можно назвать Дидимент, и обозначить :Δ. При этом :M4d назовём дидимант, и обозначим :δ.
Таблица показывает, что «>» изгибает высоту ступени вверх на Дидимент, а «<» вниз на дидимант. Знак «)» предписывает ДваДидимент вверх, и «(» означает Двадидимант вниз.
Заметим, если в сонанте ноты присутствует:
M, возникает "<" и ступень понижается интерсонантом :δ;
2M возникает "(" и ступень понижается интерсонантом :2δ;
m, возникает ">" и ступень повышается интерсонантом :Δ;
2 m, возникает ")" и ступень повышается интерсонантом :2Δ.
Другими словами, в чистой интонации предела 5, изгиб высоты ступени возникает только у нот, содержащих M, или m. Величина изгиба составляет, соответственно, ровно столько интерсонантов :δ или :Δ, сколько M, или m в составе ноты.
Это наблюдение даёт следующее, состоящее из двух фаз, правило расстановки дополнительных знаков альтерации для записи нот чистой интонации предела 5 в партитурах пифагорова строя:
- опираясь на контекст партитуры, присвоить каждой нотной головке, соответствующий ей сонант;
- если в сонанте присутствуют M, 2M, 3M, соответственно изогнуть высоту ноты на :δ, :2δ, :3δ, и обозначить эти понижения соответственно дополнительными знаками альтерации "<", "(", "{". Присутствие m, 2m, 3m требует соответствующих изгибов на :Δ, :2Δ, :3Δ, и обозначений повышения соответствующими дополнительными знаками альтерации ">", ")" и "}".
