Сонантометрия

2007-06-04T03:46:00.000-07:00

Сонантометрия. © 2007 Михаил Храмов. Статья пишется в ходе реализации проекта КОММАТОР. Последние изменения внесены 25 июля 2007. Английский перевод оригинального текста выполнил Михаил Храмов. В предлагаемых заметках развиваются идеи, касающиеся тональных функций высших порядков. Говорится о практике применения этих тональных функций, как сонантов к анализу и синтезу музыки.

Сонантометрия, или алгебра тональных функций, уточняет и расширяет возможности функционального анализа и синтеза музыки. Пример моего собственного опыта применения предмета статьи доступен в файле: Вагнерово начало Тристана. 53РДО аппроксимация предела 7. Также MIDI - модель звучания этого фрагмента даётся.

Суть сонантометрии можно пояснить следующей таблицей:

Диатоника чистой интонации предела 5				Тональная функция		Сонант
Ступень		Соотношение частот ступени и 1й ступени		Имя	Символ	Формулы по порядку близости к Тонанту			Имя
№	Символ	Дробь	Факторизация	Имя	Символ	0	1	2	Имя
8	VIII ~ I	2/1 ~ 1	2¹~ 1	Тоника	T	:T		:Dd	Тонант и Дедант
7	VII<	15/8~15	5¹×3¹×2^-3~ 5¹×3¹	Вводная				:MD или :DM	МеДент или ДеМент
6	VI<	5/3	5¹×3^-1×2⁰~ 5¹×3^-1	Субмедианта				:Md или :dM	Медант или даМент
5	V	3/2~3	3¹×2^-1~ 3¹	Доминанта	D		:D		Доминант или Дент
4	IV	4/3~1/3	3^-1×2²~ 3^-1	Субдоминанта	S		:d		Субдоминант или дант
3	III<	5/4~5	5¹×2^-2~ 5¹	Медианта	M		:M		Медиант или Мент
2	II	9/8~9	3²×2^-3~ 3²	Двойная дом-та	DD or 2D			:2D или :DD	ДваДент или ДеДент
1	I ~ VIII	1/1=1 ~ 2/1	2⁰=1 ~ 2¹	Тоника	T	:T		:dD	Тонант и даДент

Эта таблица показывает связи между хорошо известной мажорной диатоникой чистой интонации предела 5, так же хорошо известными тональными функциями и тем, что названо здесь сонанты и лежит в основе дисциплины, названной здесь сонантометрия.

Сравнение ступеней I и VIII указывает на сопоставление им одной и той же функции T, или тоники. Другими словами эти ступени функционально эквивалентны, и можно записать VIII ~ I и I ~ VIII. Соотношения частот ступеней при этом показывают, что 2 ~ 1 и все степени простого числа 2 в факторизациях соотношений частот всех ступеней можно заменить единицей и не показывать. Понятно, что тонике соответствует число 1, именно этому числу соответствует первый, вводимый здесь сонант :T (произносится [Te]) наименованный Тонант. Формула сонанта :T имеет нулевой порядок близости к Тонанту, поскольку этот порядок равен сумме абсолютных значений показателей степеней простых нечётных оснований факторизации и для :T равен 0.

Ступеням V и IV сопоставлены функции D и S, или доминанты и субдоминанты. Легко заметить, что имени ‘доминанта’ соответствует число 3¹, а приставка ‘суб’ указывает лишь на смену знака показателя степени этого числа. В сонантометрии это закреплено тем, что любой сонант :S предполагает наличие своего субсонанта :s. Поэтому функции доминанта соответствует сонант :D (произносится [De]), с именем Доминант или Дент. Его субсонант :d (произносится [da]), с именем субдоминант или дант соответствует функции субдоминанта. Формула :S в сонантометрии обозначает любой возможный сонант со своим субсонантом :s, а функции субдоминанта соответствует субсонант :d сонанта :D. Из факторизации ясно, что Дент и дант имеют порядок близости к Тонанту равный 1.

В мажорной диатонике чистой интонации предела 5 есть ещё один сонант порядка 1. Он соответствует числу 5¹ и функции медианта, что сопоставлена ступени III<. Знак «<» указывает на изгиб высоты ступени пиафагоровой шкалы вниз, и будет описан далее, вместе со знаком изгиба вверх «>». Сонант :M (произносится [Me]), с именем Медиант или Мент, и его субсонант :m (произносится [ma]), с именем субмедиант или мант суть последние из возможных сонантов порядка 1 в чистой интонации предела 5. В рассматриваемой диатонике мант отсутствует и функция субмедианты сопоставлена другому сонанту. Однако гармоническая версия мажорной диатоники чистой интонации предела 5 замещает ступень VI< ступенью VIb> (8/5 ~ 5^-1)и соответствие субмедианты манту восстанавливается.

Существование функции с именем двойная доминанта помогает понять суть сложных сонантов. Это все сонанты порядка 2 и выше. Подобно двойной доминанте, или доминанте от доминанты, любой сонант порядка 2 существует как простой сонант порядка 1 от принятого вместо Тонанта другого сонанта, простого к Тонанту по близости. Следует заметить, что субсонант своего сонанта равен Тонанту, и смена мест простых сонантов в формуле сложного не приводит к другому сонанту.

В данной диатонике существуют сложные сонанты :2D или :DD, :MD или :DM, :Dd или :dD, :Md или :dM. Их имена и соответствие ступеням отражены в таблице. Понятно, что диатоника охватывает не все возможные сонанты чистой интонации предела 5 и порядка 2. Полный набор этих сонантов отражается в таблице ниже.

Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2				Сонант
Ступень		Соотношение частот ступени и 1й ступени		Формулы по порядку близости к Тонанту			Имя
№	Символ	Дробь	Факторизация	0	1	2
14	VIII ~ I	2/1 ~ 1	2¹~1	:T		:Dd и :Mm	Тонант и Дедант и Мемант
13	VII<	15/8 ~ 15	5¹×3¹×2^-3~ 5¹×3¹			:MD или :DM	МеДент или ДеМент
12	VIIb	16/9 ~ 1/9	3^-2×2⁴~ 3^-2			:2d или :dd	Двадант или дадант
11	VI<	5/3	5¹×3^-1×2⁰~ 5¹×3^-1			:Md или :dM	Медант или даМент
10	VIb>	8/5 ~ 1/5	5^-1×2³~ 5^-1		:m		Субмедиант или мант
9	V#(	25/16 ~ 25	5²×2^-4~ 5²			:2M или :MM	ДваМент или МеМент
8	V	3/2 ~ 3	3¹×2^-1~ 3¹		:D		Доминант или Дент
7	IV	4/3 ~ 1/3	3^-1×2²~ 3^-1		:d		Субдоминант или дант
6	IVb)	32/25 ~ 1/25	5^-2×2⁵~ 5^-2			:2m или :mm	Двамант или мамант
5	III<	5/4 ~ 5	5¹×2^-2~ 5¹		:M		Медиант или Мент
4	IIIb>	6/5	5^-1×3¹×2¹~ 5^-1×3¹			:mD или :Dm	маДент или Демант
3	II	9/8 ~ 9	3²×2^-3~ 3²			:2D или :DD	ДваДент или ДеДент
2	IIb>	16/15 ~ 1/15	5^-1×3^-1×2⁴~ 5^-1×3^-1			:md или :dm	мадант или дамант
1	I ~ VIII	1/1=1 ~ 2/1	2⁰=1 ~ 2¹	:T		:dD и :mM	Тонант и даДент и маМент

Приступая к выяснению сути знаков «>», «<», «)», «(», вспомним, что шкала чистой интонации предела 5, может быть выражена через шкалу чистой интонации предела 3. Последняя шкала носит имя Пифагора, и по сей день лежит в основе музыкальной нотации и понятия ‘квинтовая спираль’, что через настройку 12 равномерных делений октавы (12 РДО) вырождается в ‘квинтовый круг’. В пифагоровой шкале, как шкале чистой интонации предела 3, мы найдём всеобщий сонант :T, простые к нему сонанты :D и :d, а также все сложные, что можно получить из :T, :D и :d. Другие сонанты в этой шкале невозможны.

В следующей таблице шкала чистой интонации предела 5 (сонанты :T, :D, :d, :M, :m и их комбинации) выражена через интервальные сонанты (интерсонанты) к ступеням пифагоровой:

Пифагорова шкала чистой интонации предела 3 и порядка 8

Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2.

Ступень

Сонанты

по порядку близости к Тонанту

Ступень

Сонанты по порядку близости к Тонанту

Изгиб высоты в интерсонантах по порядку близости к ступеням пифагоровой шкалы.

№

Символ

…

№

Символ

VIII ~ I

VII

:5D

:δ[5D = :M4d[5D

VII<

:MD

VIIb

:2d

VIIb

:2d

:3D

:δ[3D = :M4d[3D

VI<

:Md

:8D

:2δ[8d = :2M8d[8D

VIb>

:Δ[4D = :m4D[4d

VIb

:4d

V#(

:2M

IVb)

:2m

:2Δ[8d = :2m8D[8d

III

:4D

:δ[4d = :M4d[4D

III<

IVb

:8d

IIIb>

:mD

:Δ[3d = :m4D[3d

IIIb

:3d

:2D

IIb>

:md

:Δ[5d = :m4D[5d

IIb

:5d

I ~ VIII

Как можно заметить, шкалы в точности совпадают по ступеням I, II, IV, V, VIIb. По другим ступеням находим расхождение пятого порядка на маЧетыреДент или обратный ему МеЧетыредант. Ступени IVb и V# расходятся на ДвамаВосемьДент и обратный ему ДваМеВосемьдант, оба десятого порядка.

Здесь даётся простое правило нахождения интерсонанта между любой парой сонантов. Достаточно написать первый сонант, дописать к нему элементы второго, элементы обратного второму, и вынести за скобку элементы второго, как точки отсчёта. Перед скобкой останется искомый интерсонант.

:md = :md 5d 5D = :md5D[5d = :m4D[5d;

:mD = :mD 3d 3D = :mD3D[3d = :m4D[3d;

:M = :M 4D 4d = :M4d[4D;

:2m = :2m 8d 8D = 2m8D[8d;

:2M = :2M 8D 8d = 2M8d[8D;

:m = :m 4d 4D = :m4D[4d;

:Md = :Md 3D 3d = :Md3d[3D = :M4d[3D;

:MD = :MD 5D 5d = :MD5d[5D = :M4d[5D.

Восстановление числовых значений интерсонанта :m4D по формуле 5^-1×3⁴×2^Z, Z ={-n, …, 0, … n}, n Î N, N = {1, 2, 3, …, n} даёт множество октавных эквивалентов дроби 81/80 и изгибает высоту пифагоровой ступени (далее ступени) на дидимову комму вверх. Обратный сонант :M4d (множество октавных эквивалентов дроби 80/81) изгибает высоту ступени на дидимову комму вниз. Поэтому :m4D можно назвать Дидимент, и обозначить :Δ. При этом :M4d назовём дидимант, и обозначим :δ.

Таблица показывает, что «>» изгибает высоту ступени вверх на Дидимент, а «<» вниз на дидимант. Знак «)» предписывает ДваДидимент вверх, и «(» означает Двадидимант вниз.

Заметим, если в сонанте ноты присутствует:

M, возникает "<" и ступень понижается интерсонантом :δ;

2M возникает "(" и ступень понижается интерсонантом :2δ;

m, возникает ">" и ступень повышается интерсонантом :Δ;

2 m, возникает ")" и ступень повышается интерсонантом :2Δ.

Другими словами, в чистой интонации предела 5, изгиб высоты ступени возникает только у нот, содержащих M, или m. Величина изгиба составляет, соответственно, ровно столько интерсонантов :δ или :Δ, сколько M, или m в составе ноты.

Это наблюдение даёт следующее, состоящее из двух фаз, правило расстановки дополнительных знаков альтерации для записи нот чистой интонации предела 5 в партитурах пифагорова строя:

опираясь на контекст партитуры, присвоить каждой нотной головке, соответствующий ей сонант;
если в сонанте присутствуют M, 2M, 3M, соответственно изогнуть высоту ноты на :δ, :2δ, :3δ, и обозначить эти понижения соответственно дополнительными знаками альтерации "<", "(", "{". Присутствие m, 2m, 3m требует соответствующих изгибов на :Δ, :2Δ, :3Δ, и обозначений повышения соответствующими дополнительными знаками альтерации ">", ")" и "}".

2007-05-30T06:59:00.000-07:00

Алгебра Тональных Функций.

Статья написана для проекта КОММАТОР.

Английский перевод оригинального текста выполнил Михаил Храмов.

Переводчик благодарит Геннадия Воля, который любезно согласился изложить математические аспекты предложенной ему темы.

Переводчик также благодарит Вадима Бондаря за помощь и будет рад любой критике, улучшающей качество перевода.

В предлагаемых заметках кратко излагаются идеи М. Ю. Храмова, касающиеся тональных функций высших порядков. Приводятся элементарные математические формулы, относящиеся к формальной части проблемы соответствия тон - функция, а также формулы для подсчета числа тональных функций.

1. Неформальное описание тональных функций.

В некоторой тональности пусть T означает тонику, D - доминанту, М - медианту, d - субдоминанту, m - субмедианту. (В обычном звукоряде функциям T, M, d, D, m соответствуют I, III, IV, V, VI ступени). Если частоту T условно принять за 1, то частоты D, d, M, m равны соответственно 3/2, 4/3, 5/4, 8/5 (в пределах одной октавы). При перенесении тона на октаву вверх или вниз его функция не меняется; следовательно, частоты, соответствующие T, D, d, M, m могут быть умножены или разделены на 2. Пренебрегая множителем, равным 2, получим, что T, D, d, M, m соответствуют числа 1, 3, 1/3, 5, 1/5.

Пусть f₁ - некоторая функция; предположим, что тон, которому соответствует f₁, принят за тонику; в новой тональности функции f₂ соответствует некоторый тон, которому по отношению к исходной тональности приписываем функцию f₁f₂. Очевидно, что f₁f₂=f₂f₁. Частота, соответствующая функции f₁f₂, получается перемножением частот функций f₁и f₂. Например, DD соответствует частота 3·3=9; MMD - частота 5·5·3=75 и т. д. Вместо DD, MMD будем писать 2D, 2MD и т. д.

Заметим, что Dd=Mm=T; этому соответствуют числовые равенства 3·(1/3)=1 и 5·(1/5)=1.

2. Формальное описание тональных функций.

Рассмотрим свободную абелеву группу F с двумя образующими D и M; единицу группы обозначим T. Пусть d=D^-1, m=M^-1. Элемент fÎF назовем тональной функцией; f однозначно записывается в виде D^aM^b, где a и b целые числа.

В мультипликативной группе Q⁺ положительных рациональных чисел рассмотрим подгруппу G порожденную числами 3 и 5. Определим изоморфизм F@G, задавая его на образующих: j(D)=3; j(M)=5; т. о., j(D^aM^b)=3^a5^b. Для каждой функции f определим множество частот n(f)={2^Sj(f)n₀}, где S пробегает целые числа. (Частота n₀, т. о. соответствует T). Кроме того, определим для каждой функции f=D^aM^b порядок h(f)=|a|+|b|. Существует единственная функция порядка h=0, а именно T; при h>0 существует 4h функций порядка h.

Примеры:

h=1; функции D, M, D^-1=d, M^-1=m.

h=2; функции D², M², DM, D^-2, M^-2, D^-1M^-1, DM^-1, D^-1M; в обозначениях п.1: 2D, 2M, MD, 2d, 2m, md, mD, Md.

При h=3, 4, 5 имеется соответственно 12, 16 и 20 функций.

3. Равномерная 53-ступенная темперация.

Пусть n₀ - частота тоники; разделим октаву (т. е. звуковой диапазон между n₀ и 2n₀) на 53 равные части. Пронумеруем ступени данного строя от 0 (соответствует n₀) до 53 (соответствует 2n₀). Частота ступени с номером k равна n₀·2^k^/53.

Выбор числа 53 связан с тем, что (3/2)⁵³/2³¹=1,002…, т. е. 53 чистые квинты дают "почти замкнутый" строй (заметим, что для 12-ступенной темперации (3/2)¹²/2⁷=1,01…). Кроме того, 53 ступени дают возможность воспроизводить довольно точно многие другие применяемые строи.

Заметим, что числа 12 и 53 имеют более глубокий математический смысл: это знаменатели подходящих дробей при разложении в цепную дробь числа log₂3; действительно, log₂3=[1;1,1,2,2,3,1,5, …]; легко проверить, что 5-ой и 7-ой подходящей дробью соответственно являются 19/12 и 84/53.

4. Сопоставление ступеням 53-ступенной темперации тональных функций (мотивировки).

При интерпретации музыкальных произведений обычной нотации в 53-ступенный темперированный строй мы сталкиваемся с неоднозначностью выбора каких-либо из 53 ступеней, соответствующих данной ноте. Однако эта неоднозначность исчезает, если тону, обозначенному нотой, приписать некоторую функцию. Например, если тону соответствует медианта M, то ее частота 5/4=1.25 ближе всего к частоте 17-ой ступени 2^17./53=1.24898…, и мы сопоставляем именно 17-ю ступень 53-ступенного строя данному тону.

Неформальная часть задачи (и, видимо очень сложная) заключается в разработке правил, по которым из конкретного музыкального контекста мы приписываем ту или иную функцию рассматриваемому тону. Так, если тону соответствует функция 2MD с частотой 5²·3=75 или, в пределах одной октавы, 75/64=1.171875, то это ближе всего к частоте 12-го тона 53-ступенной темперации. 2^12/53=1.169924…; однако трудность именно в разработке музыкальной мотивировки, которая позволит приписать данному тону функцию 2MD.

5. Сопоставление ступеням 53-ступенной темперации тональных функций (формальная процедура).

Пусть f=D^aM^b; f¹T. Функции f соответствует набор частот n(f)={2^S3^a5^b}, где S пробегает все целые числа. (n₀ полагаем условно равной 1). Неравенство 1<2^S3^a5^b<2 (т. е. выбор частоты в пределах октавы) однозначно определяет S.

Номер k ступени 53-ступенной темперации, соответствующей функции f, определяем из условия наибольшей близости числа 2^k^/53 к 2^S3^a5^b. Поскольку log₂(2^S3^a5^b)=alog₂3+blog₂5+SÎ(0,1), то log₂(2^S3^a5^b)={alog₂3+blog₂5}, где {x} обозначает дробную часть числа x. Т. о., k/53 должно быть близко к {alog₂3+blog₂5} или, что то же самое, k должно быть близко к числу 53{alog₂3+blog₂5}. Другими словами, номер ступени k 53-ступенной темперации, соответствующей функции D^aM^b, есть ближайшее целое число к числу 53{alog₂3+blog₂5}. Обозначая ближайшее целое к x символом [x]₁, получим: k=[53{alog₂3+blog₂5}]₁

Пример:

f=2MD=D¹M²; a=1; b=2;

log₂3+2log₂5=2.2288186…;

53·{log₂3+2log₂5}=53·0.2288186=12.12739…;

k=12.

Приведем таблицу функций порядка h£5 и соответствующих им ступеней.

h	a	b	k	f	h	a	b	k	f	h	a	b	k	f
0	0	0	0	T		1	2	12	2MD	5	-4	-1	18	m4d
1	-1	0	22	d		2	-1	45	m2D		-4	1	52	M4d
	0	-1	36	m		2	1	26	M2D		-3	-2	32	2m3d
	0	1	17	M		3	0	40	3D		-3	2	47	2M3d
	1	0	31	D	4	-4	0	35	4d		-2	-3	46	3m2d
2	-2	0	44	2d		-3	-1	49	m3d		-2	3	42	3M2d
	-1	-1	5	md		-3	1	30	M3d		-1	-4	7	4md
	-1	1	39	Md		-2	-2	10	2m2d		-1	4	37	4Md
	0	-2	19	2m		-2	2	25	2M2d		0	-5	21	5m
	0	2	34	2M		-1	-3	24	3md		0	5	32	5M
	1	-1	14	mD		-1	3	20	3Md		1	-4	16	4mD
	1	1	48	MD		0	-4	38	4m		1	4	46	4MD
	2	0	9	2D		0	4	15	4M		2	-3	11	3m2D
3	-3	0	13	3d		1	-3	33	3mD		2	3	7	3M2D
	-2	-1	27	m2d		1	3	29	3MD		3	-2	6	2m3D
	-2	1	8	M2d		2	-2	28	2m2D		3	2	21	2M3D
	-1	-2	41	2md		2	2	43	2M2D		4	-1	1	m4D
	-1	2	3	2Md		3	-1	23	m3D		4	1	35	M4D
	0	-3	2	3m		3	1	4	M3D		5	0	49	5D
	0	3	51	3M		4	0	18	4D
	1	-2	50	2mD	5	-5	0	4	5d

Заметим, что если D^aM^b соответствует ступени k, то D^-^aM^-^b соответствует ступени 53-k.

Пример: 2m2d соответствует 10; 2M2D соответствует 43. Общее число функций с h£5 равно 61; при этом всем ступеням от 0 до 52 соответствует, по крайней мере, одна функция.

6. Обобщение.

Предположим, что имеется n "исходных" тональных функций f₁,…, f_n, которым соответствуют частоты p₁,…, p_n, где p₁,…, p_n - нечетные простые числа (изложенное выше соответствует случаю n=2, f₁=D, f₂=M, p₁=3, p₂=5). Множество F тональных функций тогда является свободной абелевой группой с n образующими f₁,…, f_n. Любой элемент f из F однозначно представляется в виде f₁^a¹…f_n^aⁿ. Если G подгруппа в Q⁺, порожденная числами p₁,…, p_n, то имеет место изоморфизм F@G, заданный на образующих равенства j(f_i)= p_i. Для любого f определено множество частот {2^Sj(f)n₀}, где S пробегает целые числа; n₀соответствует тонике T - единице группы. Порядок функции f= f₁^a¹…f_n^aⁿ определяется равенством h(f)=|a₁|+…+|a_n|. Номер k ступени 53-ступенного темперированного строя, соответствующий функции f, вычисляется по формуле:

k=[53{a₁log₂ p₁+…+a_nlog₂ p_n}]₁

По-прежнему, если функции f соответствует k, то функции f^-1 соответствует 53-k . В качестве примера рассмотрим случай n=3; p₁=3; p₂=5; p₃=7. Имеет место следующая таблица:

h	a₁	a₂	a₃	k	h	a₁	a₂	a₃	k	h	a₁	a₂	a₃	k
0	0	0	0	0	2	1	0	1	21	3	0	0	3	22
1	-1	0	0	22		1	1	0	48		0	1	-2	37
	0	-1	0	36		2	0	0	9		0	1	2	50
	0	0	-1	10	3	-3	0	0	13		0	2	-1	44
	0	0	1	43		-2	-1	0	27		0	2	1	24
	0	1	0	17		-2	0	-1	1		0	3	0	51
	1	0	0	31		-2	0	1	34		1	-2	0	50
2	-2	0	0	44		-2	1	0	8		1	-1	-1	24
	-1	-1	0	5		-1	-2	0	41		1	-1	1	4
	-1	0	-1	32		-1	-1	-1	15		1	0	-2	51
	-1	0	1	12		-1	-1	1	48		1	0	2	11
	-1	1	0	39		-1	1	0	42		1	1	-1	5
	0	-2	0	19		-1	0	2	2		1	1	1	38
	0	-1	-1	46		-1	1	-1	49		1	2	0	12
	0	-1	1	26		-1	1	1	29		2	-1	0	45
	0	0	-2	20		-1	2	0	3		2	0	-1	19
	0	0	2	33		0	-3	0	2		2	0	1	52
	0	1	-1	27		0	-2	-1	29		2	1	0	26
	0	1	1	7		0	-2	1	9		3	0	0	40
	0	2	0	34		0	-1	-2	3
	1	-1	0	14		0	-1	2	16
	1	0	-1	41		0	0	-3	31

При n=3 и h>0 существует 4h²+2 функций порядка h. Общее число функций порядка £3 равно 63; тем не менее ступеням 6, 18, 23, 30, 35, 47 не соответствует ни одной функции порядка £3; этим ступеням соответствуют функции порядка 4:

h

a₁

a₂

a₃

k

h

a₁

a₂

a₃

k

h

a₁

a₂

a₃

k

4

-1

1

-2

6

4

3

-1

0

23

4

2

-1

1

35

-2

1

-1

18

-3

1

0

30

1

-1

2

47

4

0

0

18

3

0

1

30

-3

0

-1

23

-4

0

0

35

7. Число тональных функций.

Обозначим N_n(h) число тональных функций порядка h при числе образующих n (h³0, n³1). С математической точки зрения N_n(h) есть число решений уравнения |x₁|+|x₁|+…+|x_n|=h в целых числах. Очевидно, что N_n(0)=1 и при h³1 N₁(h)=2. Имеет место рекуррентная формула:

N_n(h)= N_n(h-1)+N_n-₁(h)+N_n-₁(h-1),

позволяющая вычислять значения N_n(h). При заполнении приводимой ниже таблицы чисел N_n(h) удобно пользоваться рекуррентной формулой в виде следующего правила: каждое "внутреннее" число равно сумме чисел, находящихся от него слева, слева вверху и вверху.

	h	0	1	2	3	4	5	6
n		0	1	2	3	4	5	6
1		1	2	2	2	2	2	2
2		1	4	8	12	16	20	24
3		1	6	18	38	66	102	146
4		1	8	32	88	192	360	608
5		1	10	50	170	450	1002	1970
6		1	12	72	292	912	2364	5336

При фиксированном n и h³1 имеют место формулы N₂(h)=4h; N₃(h)=4h²+2; (эти формулы приводились в п.2 и п.6) N₄(h)=(8h(h²+2))/3; N₅(h)=(4h²(h²+5))/3; N₆(h)=(4h(2h⁴+20h²+23))/15.

Обозначим Ñ_n(h) число тональных функций порядка £h при числе образующих n; т. о. Ñ_n(h)=N_n(0)+N_n(1)+…+N_n(h). Имеет место формула: Ñ_n(h)=(N_n₊₁(h)+N_n(h))/2, позволяющая легко вычислять значения Ñ_n(h). Например при количестве образующих n=5 число тональных функций порядка £5 равно Ñ₅(5)=(N₆(5)+N₅(5))/2=(2364+1002)/2=1683.

Приведем также общую формулу:

_n
N_n(h)=S	(_iⁿ)(_i^h_-^-₁¹)2ⁱ
ⁱ⁼¹

16 июня 2005