Музыка, как математическая дисциплина. Обсудите пожалуйста идеи тональных функций высшего порядка, что здесь развиваются.

среда, 30 мая 2007 г.

Алгебра Тональных Функций.


© 2005 Геннадий Воль

Статья написана для проекта КОММАТОР.

Английский перевод оригинального текста выполнил Михаил Храмов.

Переводчик благодарит Геннадия Воля, который любезно согласился изложить математические аспекты предложенной ему темы.

Переводчик также благодарит Вадима Бондаря за помощь и будет рад любой критике, улучшающей качество перевода.


В предлагаемых заметках кратко излагаются идеи М. Ю. Храмова, касающиеся тональных функций высших порядков. Приводятся элементарные математические формулы, относящиеся к формальной части проблемы соответствия тон - функция, а также формулы для подсчета числа тональных функций.

1. Неформальное описание тональных функций.

В некоторой тональности пусть T означает тонику, D - доминанту, М - медианту, d - субдоминанту, m - субмедианту. (В обычном звукоряде функциям T, M, d, D, m соответствуют I, III, IV, V, VI ступени). Если частоту T условно принять за 1, то частоты D, d, M, m равны соответственно 3/2, 4/3, 5/4, 8/5 (в пределах одной октавы). При перенесении тона на октаву вверх или вниз его функция не меняется; следовательно, частоты, соответствующие T, D, d, M, m могут быть умножены или разделены на 2. Пренебрегая множителем, равным 2, получим, что T, D, d, M, m соответствуют числа 1, 3, 1/3, 5, 1/5.

Пусть f1 - некоторая функция; предположим, что тон, которому соответствует f1, принят за тонику; в новой тональности функции f2 соответствует некоторый тон, которому по отношению к исходной тональности приписываем функцию f1f2. Очевидно, что f1f2=f2f1. Частота, соответствующая функции f1f2, получается перемножением частот функций f1 и f2. Например, DD соответствует частота 3·3=9; MMD - частота 5·5·3=75 и т. д. Вместо DD, MMD будем писать 2D, 2MD и т. д.

Заметим, что Dd=Mm=T; этому соответствуют числовые равенства 3·(1/3)=1 и 5·(1/5)=1.

2. Формальное описание тональных функций.

Рассмотрим свободную абелеву группу F с двумя образующими D и M; единицу группы обозначим T. Пусть d=D-1, m=M-1. Элемент fÎF назовем тональной функцией; f однозначно записывается в виде DaMb, где a и b целые числа.

В мультипликативной группе Q+ положительных рациональных чисел рассмотрим подгруппу G порожденную числами 3 и 5. Определим изоморфизм F@G, задавая его на образующих: j(D)=3; j(M)=5; т. о., j(DaMb)=3a5b. Для каждой функции f определим множество частот n(f)={2Sj(f)n0}, где S пробегает целые числа. (Частота n0, т. о. соответствует T). Кроме того, определим для каждой функции f=DaMb порядок h(f)=|a|+|b|. Существует единственная функция порядка h=0, а именно T; при h>0 существует 4h функций порядка h.

Примеры:

h=1; функции D, M, D-1=d, M-1=m.

h=2; функции D2, M2, DM, D-2, M-2, D-1M-1, DM-1, D-1M; в обозначениях п.1: 2D, 2M, MD, 2d, 2m, md, mD, Md.

При h=3, 4, 5 имеется соответственно 12, 16 и 20 функций.

3. Равномерная 53-ступенная темперация.

Пусть n0 - частота тоники; разделим октаву (т. е. звуковой диапазон между n0 и 2n0) на 53 равные части. Пронумеруем ступени данного строя от 0 (соответствует n0) до 53 (соответствует 2n0). Частота ступени с номером k равна n0·2k/53.

Выбор числа 53 связан с тем, что (3/2)53/231=1,002…, т. е. 53 чистые квинты дают "почти замкнутый" строй (заметим, что для 12-ступенной темперации (3/2)12/27=1,01…). Кроме того, 53 ступени дают возможность воспроизводить довольно точно многие другие применяемые строи.

Заметим, что числа 12 и 53 имеют более глубокий математический смысл: это знаменатели подходящих дробей при разложении в цепную дробь числа log23; действительно, log23=[1;1,1,2,2,3,1,5, …]; легко проверить, что 5-ой и 7-ой подходящей дробью соответственно являются 19/12 и 84/53.

4. Сопоставление ступеням 53-ступенной темперации тональных функций (мотивировки).

При интерпретации музыкальных произведений обычной нотации в 53-ступенный темперированный строй мы сталкиваемся с неоднозначностью выбора каких-либо из 53 ступеней, соответствующих данной ноте. Однако эта неоднозначность исчезает, если тону, обозначенному нотой, приписать некоторую функцию. Например, если тону соответствует медианта M, то ее частота 5/4=1.25 ближе всего к частоте 17-ой ступени 217./53=1.24898…, и мы сопоставляем именно 17-ю ступень 53-ступенного строя данному тону.

Неформальная часть задачи (и, видимо очень сложная) заключается в разработке правил, по которым из конкретного музыкального контекста мы приписываем ту или иную функцию рассматриваемому тону. Так, если тону соответствует функция 2MD с частотой 52·3=75 или, в пределах одной октавы, 75/64=1.171875, то это ближе всего к частоте 12-го тона 53-ступенной темперации. 212/53=1.169924…; однако трудность именно в разработке музыкальной мотивировки, которая позволит приписать данному тону функцию 2MD.

5. Сопоставление ступеням 53-ступенной темперации тональных функций (формальная процедура).

Пусть f=DaMb; f¹T. Функции f соответствует набор частот n(f)={2S3a5b}, где S пробегает все целые числа. (n0 полагаем условно равной 1). Неравенство 1<2S3a5b<2 (т. е. выбор частоты в пределах октавы) однозначно определяет S.

Номер k ступени 53-ступенной темперации, соответствующей функции f, определяем из условия наибольшей близости числа 2k/53 к 2S3a5b. Поскольку log2(2S3a5b)=alog23+blog25+SÎ(0,1), то log2(2S3a5b)={alog23+blog25}, где {x} обозначает дробную часть числа x. Т. о., k/53 должно быть близко к {alog23+blog25} или, что то же самое, k должно быть близко к числу 53{alog23+blog25}. Другими словами, номер ступени k 53-ступенной темперации, соответствующей функции DaMb, есть ближайшее целое число к числу 53{alog23+blog25}. Обозначая ближайшее целое к x символом [x]1, получим: k=[53{alog23+blog25}]1

Пример:

f=2MD=D1M2; a=1; b=2;

log23+2log25=2.2288186…;

53·{log23+2log25}=53·0.2288186=12.12739…;

k=12.

Приведем таблицу функций порядка h£5 и соответствующих им ступеней.

h

a

b

k

f

h

a

b

k

f

h

a

b

k

f

0

0

0

0

T


1

2

12

2MD

5

-4

-1

18

m4d

1

-1

0

22

d


2

-1

45

m2D


-4

1

52

M4d


0

-1

36

m


2

1

26

M2D


-3

-2

32

2m3d


0

1

17

M


3

0

40

3D


-3

2

47

2M3d


1

0

31

D

4

-4

0

35

4d


-2

-3

46

3m2d

2

-2

0

44

2d


-3

-1

49

m3d


-2

3

42

3M2d


-1

-1

5

md


-3

1

30

M3d


-1

-4

7

4md


-1

1

39

Md


-2

-2

10

2m2d


-1

4

37

4Md


0

-2

19

2m


-2

2

25

2M2d


0

-5

21

5m


0

2

34

2M


-1

-3

24

3md


0

5

32

5M


1

-1

14

mD


-1

3

20

3Md


1

-4

16

4mD


1

1

48

MD


0

-4

38

4m


1

4

46

4MD


2

0

9

2D


0

4

15

4M


2

-3

11

3m2D

3

-3

0

13

3d


1

-3

33

3mD


2

3

7

3M2D


-2

-1

27

m2d


1

3

29

3MD


3

-2

6

2m3D


-2

1

8

M2d


2

-2

28

2m2D


3

2

21

2M3D


-1

-2

41

2md


2

2

43

2M2D


4

-1

1

m4D


-1

2

3

2Md


3

-1

23

m3D


4

1

35

M4D


0

-3

2

3m


3

1

4

M3D


5

0

49

5D


0

3

51

3M


4

0

18

4D







1

-2

50

2mD

5

-5

0

4

5d







Заметим, что если DaMb соответствует ступени k, то D-aM-b соответствует ступени 53-k.

Пример: 2m2d соответствует 10; 2M2D соответствует 43. Общее число функций с h£5 равно 61; при этом всем ступеням от 0 до 52 соответствует, по крайней мере, одна функция.

6. Обобщение.

Предположим, что имеется n "исходных" тональных функций f1,…, fn, которым соответствуют частоты p1,…, pn, где p1,…, pn - нечетные простые числа (изложенное выше соответствует случаю n=2, f1=D, f2=M, p1=3, p2=5). Множество F тональных функций тогда является свободной абелевой группой с n образующими f1,…, fn. Любой элемент f из F однозначно представляется в виде f1a1fnan. Если G подгруппа в Q+, порожденная числами p1,…, pn, то имеет место изоморфизм F@G, заданный на образующих равенства j(fi)= pi. Для любого f определено множество частот {2Sj(f)n0}, где S пробегает целые числа; n0 соответствует тонике T - единице группы. Порядок функции f= f1a1fnan определяется равенством h(f)=|a1|++|an|. Номер k ступени 53-ступенного темперированного строя, соответствующий функции f, вычисляется по формуле:

k=[53{a1log2 p1+…+anlog2 pn}]1

По-прежнему, если функции f соответствует k, то функции f-1 соответствует 53-k . В качестве примера рассмотрим случай n=3; p1=3; p2=5; p3=7. Имеет место следующая таблица:

h

a1

a2

a3

k

h

a1

a2

a3

k

h

a1

a2

a3

k

0

0

0

0

0

2

1

0

1

21

3

0

0

3

22

1

-1

0

0

22


1

1

0

48


0

1

-2

37


0

-1

0

36


2

0

0

9


0

1

2

50


0

0

-1

10

3

-3

0

0

13


0

2

-1

44


0

0

1

43


-2

-1

0

27


0

2

1

24


0

1

0

17


-2

0

-1

1


0

3

0

51


1

0

0

31


-2

0

1

34


1

-2

0

50

2

-2

0

0

44


-2

1

0

8


1

-1

-1

24


-1

-1

0

5


-1

-2

0

41


1

-1

1

4


-1

0

-1

32


-1

-1

-1

15


1

0

-2

51


-1

0

1

12


-1

-1

1

48


1

0

2

11


-1

1

0

39


-1

1

0

42


1

1

-1

5


0

-2

0

19


-1

0

2

2


1

1

1

38


0

-1

-1

46


-1

1

-1

49


1

2

0

12


0

-1

1

26


-1

1

1

29


2

-1

0

45


0

0

-2

20


-1

2

0

3


2

0

-1

19


0

0

2

33


0

-3

0

2


2

0

1

52


0

1

-1

27


0

-2

-1

29


2

1

0

26


0

1

1

7


0

-2

1

9


3

0

0

40


0

2

0

34


0

-1

-2

3







1

-1

0

14


0

-1

2

16







1

0

-1

41


0

0

-3

31







При n=3 и h>0 существует 4h2+2 функций порядка h. Общее число функций порядка £3 равно 63; тем не менее ступеням 6, 18, 23, 30, 35, 47 не соответствует ни одной функции порядка £3; этим ступеням соответствуют функции порядка 4:


h

a1

a2

a3

k

h

a1

a2

a3

k

h

a1

a2

a3

k

4

-1

1

-2

6

4

3

-1

0

23

4

2

-1

1

35


-2

1

-1

18


-3

1

0

30


1

-1

2

47


4

0

0

18


3

0

1

30







-3

0

-1

23


-4

0

0

35







7. Число тональных функций.

Обозначим Nn(h) число тональных функций порядка h при числе образующих n (h³0, n³1). С математической точки зрения Nn(h) есть число решений уравнения |x1|+|x1|++|xn|=h в целых числах. Очевидно, что Nn(0)=1 и при h³1 N1(h)=2. Имеет место рекуррентная формула:

Nn(h)= Nn(h-1)+Nn-1(h)+Nn-1(h-1),

позволяющая вычислять значения Nn(h). При заполнении приводимой ниже таблицы чисел Nn(h) удобно пользоваться рекуррентной формулой в виде следующего правила: каждое "внутреннее" число равно сумме чисел, находящихся от него слева, слева вверху и вверху.



h

0

1

2

3

4

5

6

n


1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

4

8

12

16

20

24

3

1

6

18

38

66

102

146

4

1

8

32

88

192

360

608

5

1

10

50

170

450

1002

1970

6

1

12

72

292

912

2364

5336


При фиксированном n и h³1 имеют место формулы N2(h)=4h; N3(h)=4h2+2; (эти формулы приводились в п.2 и п.6) N4(h)=(8h(h2+2))/3; N5(h)=(4h2(h2+5))/3; N6(h)=(4h(2h4+20h2+23))/15.

Обозначим Ñn(h) число тональных функций порядка £h при числе образующих n; т. о. Ñn(h)=Nn(0)+Nn(1)++Nn(h). Имеет место формула: Ñn(h)=(Nn+1(h)+Nn(h))/2, позволяющая легко вычислять значения Ñn(h). Например при количестве образующих n=5 число тональных функций порядка £5 равно Ñ5(5)=(N6(5)+N5(5))/2=(2364+1002)/2=1683.

Приведем также общую формулу:

n

Nn(h)=S

(in)(ih--11)2i

i=1

16 июня 2005


Комментариев нет: