Музыка, как математическая дисциплина. Обсудите пожалуйста идеи тональных функций высшего порядка, что здесь развиваются.

понедельник, 4 июня 2007 г.

Сонантометрия.
© 2007 Михаил Храмов.
Статья пишется в ходе реализации проекта КОММАТОР.
Последние изменения внесены 25 июля 2007.
Английский перевод оригинального текста выполнил Михаил Храмов.
В предлагаемых заметках развиваются идеи, касающиеся тональных функций высших порядков. Говорится о практике применения этих тональных функций, как сонантов к анализу и синтезу музыки.

Сонантометрия, или алгебра тональных функций, уточняет и расширяет возможности функционального анализа и синтеза музыки. Пример моего собственного опыта применения предмета статьи доступен в файле: Вагнерово начало Тристана. 53РДО аппроксимация предела 7. Также MIDI - модель звучания этого фрагмента даётся.

Суть сонантометрии можно пояснить следующей таблицей:

Диатоника чистой интонации предела 5

Тональная функция

Сонант

Ступень

Соотношение частот ступени и 1й ступени

Имя

Символ

Формулы по порядку близости к Тонанту

Имя

Символ

Дробь

Факторизация

0

1

2

8

VIII ~ I

2/1 ~ 1

21 ~ 1

Тоника

T

:T

:Dd

Тонант и Дедант

7

VII<

15/8~15

51×31×2-3 ~ 51×31

Вводная

:MD или :DM

МеДент или ДеМент

6

VI<

5/3

51×3-1×20 ~ 51×3-1

Субмедианта

:Md или :dM

Медант или даМент

5

V

3/2~3

31×2-1 ~ 31

Доминанта

D

:D

Доминант или Дент

4

IV

4/3~1/3

3-1×22 ~ 3-1

Субдоминанта

S

:d

Субдоминант или дант

3

III<

5/4~5

51×2-2 ~ 51

Медианта

M

:M

Медиант или Мент

2

II

9/8~9

32×2-3 ~ 32

Двойная дом-та

DD or 2D

:2D или :DD

ДваДент или ДеДент

1

I ~ VIII

1/1=1 ~ 2/1

20=1 ~ 21

Тоника

T

:T

:dD

Тонант и даДент

Эта таблица показывает связи между хорошо известной мажорной диатоникой чистой интонации предела 5, так же хорошо известными тональными функциями и тем, что названо здесь сонанты и лежит в основе дисциплины, названной здесь сонантометрия.

Сравнение ступеней I и VIII указывает на сопоставление им одной и той же функции T, или тоники. Другими словами эти ступени функционально эквивалентны, и можно записать VIII ~ I и I ~ VIII. Соотношения частот ступеней при этом показывают, что 2 ~ 1 и все степени простого числа 2 в факторизациях соотношений частот всех ступеней можно заменить единицей и не показывать. Понятно, что тонике соответствует число 1, именно этому числу соответствует первый, вводимый здесь сонант :T (произносится [Te]) наименованный Тонант. Формула сонанта :T имеет нулевой порядок близости к Тонанту, поскольку этот порядок равен сумме абсолютных значений показателей степеней простых нечётных оснований факторизации и для :T равен 0.

Ступеням V и IV сопоставлены функции D и S, или доминанты и субдоминанты. Легко заметить, что имени ‘доминанта’ соответствует число 31, а приставка ‘суб’ указывает лишь на смену знака показателя степени этого числа. В сонантометрии это закреплено тем, что любой сонант :S предполагает наличие своего субсонанта :s. Поэтому функции доминанта соответствует сонант :D (произносится [De]), с именем Доминант или Дент. Его субсонант :d (произносится [da]), с именем субдоминант или дант соответствует функции субдоминанта. Формула :S в сонантометрии обозначает любой возможный сонант со своим субсонантом :s, а функции субдоминанта соответствует субсонант :d сонанта :D. Из факторизации ясно, что Дент и дант имеют порядок близости к Тонанту равный 1.

В мажорной диатонике чистой интонации предела 5 есть ещё один сонант порядка 1. Он соответствует числу 51 и функции медианта, что сопоставлена ступени III<. Знак «<» указывает на изгиб высоты ступени пиафагоровой шкалы вниз, и будет описан далее, вместе со знаком изгиба вверх «>». Сонант :M (произносится [Me]), с именем Медиант или Мент, и его субсонант :m (произносится [ma]), с именем субмедиант или мант суть последние из возможных сонантов порядка 1 в чистой интонации предела 5. В рассматриваемой диатонике мант отсутствует и функция субмедианты сопоставлена другому сонанту. Однако гармоническая версия мажорной диатоники чистой интонации предела 5 замещает ступень VI< ступенью VIb> (8/5 ~ 5-1)и соответствие субмедианты манту восстанавливается.

Существование функции с именем двойная доминанта помогает понять суть сложных сонантов. Это все сонанты порядка 2 и выше. Подобно двойной доминанте, или доминанте от доминанты, любой сонант порядка 2 существует как простой сонант порядка 1 от принятого вместо Тонанта другого сонанта, простого к Тонанту по близости. Следует заметить, что субсонант своего сонанта равен Тонанту, и смена мест простых сонантов в формуле сложного не приводит к другому сонанту.

В данной диатонике существуют сложные сонанты :2D или :DD, :MD или :DM, :Dd или :dD, :Md или :dM. Их имена и соответствие ступеням отражены в таблице. Понятно, что диатоника охватывает не все возможные сонанты чистой интонации предела 5 и порядка 2. Полный набор этих сонантов отражается в таблице ниже.

Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2

Сонант

Ступень

Соотношение частот ступени и 1й ступени

Формулы по порядку близости к Тонанту

Имя

Символ

Дробь

Факторизация

0

1

2

14

VIII ~ I

2/1 ~ 1

21~1

:T

:Dd и :Mm

Тонант и Дедант и Мемант

13

VII<

15/8 ~ 15

51×31×2-3 ~ 51×31

:MD или :DM

МеДент или ДеМент

12

VIIb

16/9 ~ 1/9

3-2×24 ~ 3-2

:2d или :dd

Двадант или дадант

11

VI<

5/3

51×3-1×20 ~ 51×3-1

:Md или :dM

Медант или даМент

10

VIb>

8/5 ~ 1/5

5-1×23 ~ 5-1

:m

Субмедиант или мант

9

V#(

25/16 ~ 25

52×2-4 ~ 52

:2M или :MM

ДваМент или МеМент

8

V

3/2 ~ 3

31×2-1 ~ 31

:D

Доминант или Дент

7

IV

4/3 ~ 1/3

3-1×22 ~ 3-1

:d

Субдоминант или дант

6

IVb)

32/25 ~ 1/25

5-2×25 ~ 5-2

:2m или :mm

Двамант или мамант

5

III<

5/4 ~ 5

51×2-2 ~ 51

:M

Медиант или Мент

4

IIIb>

6/5

5-1×31×21 ~ 5-1×31

:mD или :Dm

маДент или Демант

3

II

9/8 ~ 9

32×2-3 ~ 32

:2D или :DD

ДваДент или ДеДент

2

IIb>

16/15 ~ 1/15

5-1×3-1×24 ~ 5-1×3-1

:md или :dm

мадант или дамант

1

I ~ VIII

1/1=1 ~ 2/1

20=1 ~ 21

:T

:dD и :mM

Тонант и даДент и маМент

Приступая к выяснению сути знаков «>», «<», «)», «(», вспомним, что шкала чистой интонации предела 5, может быть выражена через шкалу чистой интонации предела 3. Последняя шкала носит имя Пифагора, и по сей день лежит в основе музыкальной нотации и понятия ‘квинтовая спираль’, что через настройку 12 равномерных делений октавы (12 РДО) вырождается в ‘квинтовый круг’. В пифагоровой шкале, как шкале чистой интонации предела 3, мы найдём всеобщий сонант :T, простые к нему сонанты :D и :d, а также все сложные, что можно получить из :T, :D и :d. Другие сонанты в этой шкале невозможны.

В следующей таблице шкала чистой интонации предела 5 (сонанты :T, :D, :d, :M, :m и их комбинации) выражена через интервальные сонанты (интерсонанты) к ступеням пифагоровой:

Пифагорова шкала чистой интонации предела 3 и порядка 8

Шкала чистой интонации предела 5 и порядка 2.

Ступень

Сонанты

по порядку близости к Тонанту

Ступень

Сонанты по порядку близости к Тонанту

Изгиб высоты в интерсонантах по порядку близости к ступеням пифагоровой шкалы.

Символ

0

1

2

3

4

5

8

Символ

0

1

2

5

10

14

VIII ~ I

:T

14

VIII ~ I

:T

13

VII

:5D

:δ[5D = :M4d[5D

13

VII<

:MD

12

VIIb

:2d

12

VIIb

:2d

11

VI

:3D

:δ[3D = :M4d[3D

11

VI<

:Md

10

V#

:8D

:2δ[8d = :2M8d[8D

10

VIb>

:m

:Δ[4D = :m4D[4d

9

VIb

:4d

9

V#(

:2M

8

V

:D

8

V

:D

7

IV

:d

7

IV

:d

6

IVb)

:2m

:2Δ[8d = :2m8D[8d

6

III

:4D

:δ[4d = :M4d[4D

5

III<

:M

5

IVb

:8d

4

IIIb>

:mD

:Δ[3d = :m4D[3d

4

IIIb

:3d

3

II

:2D

3

II

:2D

2

IIb>

:md

:Δ[5d = :m4D[5d

2

IIb

:5d

1

I ~ VIII

:T

1

I ~ VIII

:T

Как можно заметить, шкалы в точности совпадают по ступеням I, II, IV, V, VIIb. По другим ступеням находим расхождение пятого порядка на маЧетыреДент или обратный ему МеЧетыредант. Ступени IVb и V# расходятся на ДвамаВосемьДент и обратный ему ДваМеВосемьдант, оба десятого порядка.

Здесь даётся простое правило нахождения интерсонанта между любой парой сонантов. Достаточно написать первый сонант, дописать к нему элементы второго, элементы обратного второму, и вынести за скобку элементы второго, как точки отсчёта. Перед скобкой останется искомый интерсонант.

:md = :md 5d 5D = :md5D[5d = :m4D[5d;

:mD = :mD 3d 3D = :mD3D[3d = :m4D[3d;

:M = :M 4D 4d = :M4d[4D;

:2m = :2m 8d 8D = 2m8D[8d;

:2M = :2M 8D 8d = 2M8d[8D;

:m = :m 4d 4D = :m4D[4d;

:Md = :Md 3D 3d = :Md3d[3D = :M4d[3D;

:MD = :MD 5D 5d = :MD5d[5D = :M4d[5D.

Восстановление числовых значений интерсонанта :m4D по формуле 5-1×34×2Z, Z ={-n, …, 0, … n}, n Î N, N = {1, 2, 3, …, n} даёт множество октавных эквивалентов дроби 81/80 и изгибает высоту пифагоровой ступени (далее ступени) на дидимову комму вверх. Обратный сонант :M4d (множество октавных эквивалентов дроби 80/81) изгибает высоту ступени на дидимову комму вниз. Поэтому :m4D можно назвать Дидимент, и обозначить :Δ. При этом :M4d назовём дидимант, и обозначим :δ.

Таблица показывает, что «>» изгибает высоту ступени вверх на Дидимент, а «<» вниз на дидимант. Знак «)» предписывает ДваДидимент вверх, и «(» означает Двадидимант вниз.

Заметим, если в сонанте ноты присутствует:

M, возникает "<" и ступень понижается интерсонантом :δ;

2M возникает "(" и ступень понижается интерсонантом :2δ;

m, возникает ">" и ступень повышается интерсонантом :Δ;

2 m, возникает ")" и ступень повышается интерсонантом :2Δ.

Другими словами, в чистой интонации предела 5, изгиб высоты ступени возникает только у нот, содержащих M, или m. Величина изгиба составляет, соответственно, ровно столько интерсонантов :δ или :Δ, сколько M, или m в составе ноты.

Это наблюдение даёт следующее, состоящее из двух фаз, правило расстановки дополнительных знаков альтерации для записи нот чистой интонации предела 5 в партитурах пифагорова строя:

  1. опираясь на контекст партитуры, присвоить каждой нотной головке, соответствующий ей сонант;
  2. если в сонанте присутствуют M, 2M, 3M, соответственно изогнуть высоту ноты на :δ, :2δ, :3δ, и обозначить эти понижения соответственно дополнительными знаками альтерации "<", "(", "{". Присутствие m, 2m, 3m требует соответствующих изгибов на :Δ, :2Δ, :3Δ, и обозначений повышения соответствующими дополнительными знаками альтерации ">", ")" и "}".

13 комментариев:

MP3 e MP4 комментирует...

Hello. This post is likeable, and your blog is very interesting, congratulations :-). I will add in my blogroll =). If possible gives a last there on my blog, it is about the MP3 e MP4, I hope you enjoy. The address is http://mp3-mp4-brasil.blogspot.com. A hug.

kaicevy комментирует...

Подобно двойной доминанте, или доминанте от доминанты, любой сонант порядка 2 существует как простой сонант порядка 1 от принятого вместо Тонанта другого сонанта, простого к Тонанту по близости

Mykhaylo Khramov комментирует...

Уважаемый kaicevy,
я очень рад, что Вы совершенно правильно поняли мои мысли.
Если, например есть сонанты T, d, D, M, Md, MD, то M можно вынести за скобку.
Получим T, d, D, M[T, d, D.
Мелодия T, d, D повторяется от сонанта M.
Прошу прощения за столь запоздалый ответ.

Анонимный комментирует...

ну идеи-то интересные.

дайте пожалуйста всем что-нибудь послушать - чтобы составить представление о том, как это может звучать.

Цифры немы :)

Анонимный комментирует...

Какая интересная статья вышла! Респект автору! :)

Анонимный комментирует...

Хорошая статья. Действительно было интересно почитать. Не часто такое и встречается та.Наверное стоит подписаться на ваше RSS

Анонимный комментирует...

Можно подумать как будто вроде и удался пост) загляните и ко мне на чай)

Mykhaylo Khramov комментирует...

Можно посмотреть мои опыты в виде самозвучащих партитур формата Sibelius. Звучание некоторых испорчено после прошлогоднего кошмара с обновлением дизайна владельцами sibeliusmusic.com. Даже большинство MP3 дублировок не хочет звучать. Восстанавливаю понемногу, но быстро это сделать не получается.

Анонимный комментирует...

The author is really cool. But some of the commentators are just posting stupid words.

Анонимный комментирует...

Здравствуйте. Пожалуйста не удаляйте это сообщение. Алене нужна операция. Сайт - [url=http://helpalena.ru]helpalena.ru [/url] (helpalena.ru ). Кто может, помогите.

Анонимный комментирует...

horoshiy post! retwitnu!

Анонимный комментирует...

Найс пост! Сенкью!

Анонимный комментирует...

Интересно...